Записать уравнение прямой, проходящей точки и Найти значения параметров k и b для этой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид .

Значит или 4(х+1)=2(у-2)

Две стороны квадрата лежат на прямых 5х – 12у –65 = 0 и 5х – 12у + 26 = 0. Вычислить его площадь.

Так как то прямые параллельны и они различны. Найдем длину стороны квадрата - это расстояние между параллельными прямыми. Возьмем точку первой прямой. Тогда расстояние от точки до второй прямой равно

Значит . Тогда

Записать общее уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки на плоскости 4х + у –3z + 13 =0 и х –2у +z – 11 = 0.

Запишем уравнение любой прямой, проходящей через точку P: .

Координаты ( направляющего вектора прямой, перпендикулярной плоскости, можно заменить координатами нормального вектора n = (4; 1; -3) плоскости 4х + у – 3z + 13 =0. Тогда уравнение прямой запишется в виде

Найдем проекцию точки P на данную плоскость, решив совместно уравнения

4х + у – 3z + 13 = 0,

Перепишем уравнение прямой в виде:

Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости найдем t.

26t = 12, t =

Тогда

проекция точки P на плоскость 4x + y – 3z + 13 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через точки P и .

Теперь найдем проекцию точки P на плоскость x- 2y + z – 11 = 0.

Уравнение прямой проходящей через точки P и .

(2)

Искомая плоскость проходит через прямые (1) и (2). Так как величины не пропорциональны величинам то прямые пересекаются при выполнении условия

Найти длину отрезка прямой, параллельной вектору , между точками пересечения её с плоскостями 2x + y – z – 6 = 0 и 2x + y – z – 4 = 0.

Плоскости параллельны, т.к.

от точки плоскости отложим вектор

Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны. Значит длина искомого отрезка равна длине вектора .

Найти те значения m и n, при которых прямая пересекает прямые

Найдем параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам.

заданных плоскостей, то за S можно принять векторное произведение векторов .

Таким образом в качестве точки через которую проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения и с любой из координатных плоскостей.

Например, с плоскостью XOZ. Так как при этом то координаты определяются из системы уравнений заданных прямых, если в них положить y = 0.

Решая эту систему находим .

Прямые будут пересекаться, если

(2)

Дано, что прямая, пересекающая ось аппликат в точке параллельна плоскости отстоит от неё на расстоянии 7 и перпендикулярна оси координат. Найти абсциссу точки пересечения этой прямой с координатной плоскостью z = 0.

Так как искомая прямая перпендикулярна оси Oу, то она находится в плоскости XOZ, и проходит через точки .

Так как она параллельна плоскости то расстояние между ними, равное 7, это расстояние от какой либо точки прямой до плоскости, которое вычисляется по формуле:

Ответ: абсцисса точки пересечения прямой с плоскостью z = 0 21 или -28.

Записать уравнение касательной к окружности в точке M(1, 2 ).

принадлежит окружности. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенного в точку касания. В качестве вектора нормали касательной можно взять вектор где С ( 2; -4)- центр окружности.

Дана кривая

- это Уравнение параболы, симметричной относительно оси .

9.3 Сравнивая уравнение параболы с каноническим уравнением параболы находим

10.Дана кривая