Пусть даны два множества D и E, элементами которых являются комплексные числа. Числа множества D будем изображать точками комплексной плоскости z, а числа множества Е – точками комплексной плоскости .

Определение. Если каждому числу (точке) по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число (точка) , то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного , отображающая множество D в множество Е.

Если каждому соответствует несколько значений w, то функция называется многозначной.

Множество D называется областью определения функции .

Определение: Множество Е₁ всех значений w, которые принимает на Е, называется областью значений этой функции (если же каждая точка множества Е является значением функции, то Е – область значений функции; в этом случае отображает D на Е).

Далее, как правило будем рассматривать такие функции , для которых множества D и Е₁ являются областями. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связанности.

Функцию при этом называют действительной частью функции , а функцию – мнимой частью.

Определим основные элементарные функции комплексного переменного :

Положив в равенстве (2.31) , устанавливаем, что для действительных значений показательная функция совпадает с показательной функцией действительного переменного:

Положив в равенстве (2.31) получим классическую формулу Эйлера:

C ее помощью, в частности, можно представить тригонометрическую форму комплексного числа в более компактной форме:

называемой показательной формой комплексного числа.

Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной. Число w называют логарифмом числа , если . Логарифмическая функция обозначается: Так как значения показательной функции всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция определена на всей плоскости z, кроме точки .

согласно определению логарифмической функции получим:

Формула (2.32) показывает, что логарифмическая функция комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т.е.

Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (2.32) определенное значение k. Положив , получим однозначную функцию, которую называют главным значением логарифма и обозначают символом

т.е. главное значение логарифма действительного положительного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа.

Если n – натуральное число, то степенная функция определяется равенством

Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются равенствами:

Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. В частности,

Отметим, что тригонометрические функции sinz и cosz в комплексной плоскости z неограничены:

Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями. Заменяя в указанных функциях z на iz, получим:

Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул, связывающих гиперболические функции.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции. Число w называется арксинусом числа z, если и обозначается

Обратные гиперболические функции имеют следующие выражения: