Пусть , докажем, что . Предел значений функции

Поскольку последовательность является бесконечно большой (ее предел равен бесконечности), то последовательность – бесконечно малая, а это означает, что ее предел равен нулю. Тогда

Это определение предела функции на языке « — ».

То есть необходимо найти такое положительное , которое будет удовлетворять выше приведенным условиям.

Далее используем тот факт, что модуль суммы не превышает суммы модулей:

И по определению это должно быть меньше :

Тогда делаем вывод, что в качестве можно взять

Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке двух разных пределов.

Замечание 2. Понятие предела функции в точке – локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 3. Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием и высотой , с точкой пересечения диагоналей , что все точки графика данной функции на интервале , за исключением, быть может, точки, лежат в этом прямоугольнике (рис. 1).

Учитывая то, как будут раскрываться модули, а также тот факт, стремится слева или справа к значению , для записанных выше выражений можно построить следующую таблицу:

Во втором столбце записаны условия, накладываемые на переменную и функцию, а третий и четвертый столбцы соответствуют тому, как необходимо эти условия трактовать в определениях предела функции по Гейне и Коши соответственно.

Аналогично, для определения предела функции по Коши имеем:

Приведем соответствующий пример функции, для которой имеет место равенство (рис. 2).