Функции и , входящие в уравнение, являются непрерывными на некотором интервале , на котором ищется решение рассматриваемого уравнения.

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка или линейным уравнением без правой части.

Потенцируя обе части последнего равенства и используя свойства степеней, будем иметь:

Функции и подбираются таким образом, чтобы выражение , стоящее в скобках второго слагаемого, равнялось нулю. То есть уравнение (3) распадается на два уравнения:

Первое из уравнений является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение. Разделим переменные:

Тогда второе уравнение принимает вид:

Введем замену , тогда окончательно имеем, что

2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Данный метод заключается в следующем:

1) Вначале ищется общее решение однородного дифференциального уравнения (2):

2) Далее C считается не константой, а некоторой функцией от переменной x:

Находим производную и в заданное неоднородное дифференциальное уравнение подставляем полученное выражение для и . Из полученного уравнения находим функцию .

3) В общее решение (4) однородного уравнения вместо C подставляем найденное выражение .

Найдем его решение методом вариации произвольной постоянной.

1) Вначале решим соответствующее однородное уравнение

Оно является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому найдем его решение, предварительно разделив переменные:

2) Варьируем произвольную постоянную C, то есть считаем, что

Полученные выражения для и подставляем в исходное уравнение , будем иметь:

Интегрируя обе части полученного равенства, получим:

3) Таким образом, искомое решение (5) запишется в виде: