Линейная комбинация - это сумма векторов, умноженных на некоторые числа. Эти векторы могут иметь разное направление.

где - какие угодно вещественные числа.

На рисунке сверху - линейная комбинация, представленная вектором , являющимся суммой векторов и , умноженных соответственно на 2 и 3.

Векторы являются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулю и хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля.

Определение 1. Векторы , , . называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов , , . с указанными числами обращается в нуль, т.е. имеет место равенство

Векторы , , . , не являющиеся линейно зависимыми, будем называть линейно независимыми.

Определение 2. Векторы , , . называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.

Теорема 1. Если хотя бы один из векторов , , . является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми.

Теорема 2. Если среди n векторов какие-либо (n - 1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Следствие 1. Если векторы и коллинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались линейно зависимыми).

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность.

Следствие 1. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы и , для любого вектора , лежащего в одной плоскости с векторами и , найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство

Следствие 2. Если векторы , и не компланарны, то они линейно независимы.

Следствие 3. Среди трёх некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора (иначе эти векторы оказались бы линейно зависимыми).

Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы , и , для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что справедливо равенство

с коэффициентами и .

Решение. Вычислим сначала произведения и :

Аналогично предыдущему находим линейную комбинацию:

Решение. В соответствии с определением линейной зависимости нужно найти такие числа

и , чтобы

Для этого подставим в последнее равенство координаты векторов и ; тогда

Выполнив в левой части преобразования по правилам действий над векторами, получим

является нулевым и, следовательно, каждая его проекция равна нулю, т.е.

Мы получили, что линейная комбинация векторов и может быть нулевой лишь в том случае, если все её коэффициенты равны нулю. Это означает, что данные векторы линейно независимы.

С понятием линейной независимости векторов и линейной комбинацией связана тема Базиса системы векторов, которая изучается в отлельном уроке.