Объём тела, образованного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле

.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле

.

Пример 1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

- ветвь параболы, расположенная выше оси OX, т.к. ;

- прямая, параллельная оси OY;

- ось OX.

При вращении криволинейной трапеции (рис.11) вокруг оси ох образуется тело вращения.

Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси ох, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е. , тогда При этом , т.е.

Тогда (ед 3 .)

Пример 2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями

- гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных углах;

- прямая, параллельная оси OX;

- прямая, параллельная оси OX;

- ось OY.

При вращении криволинейной трапеции (рис.12) вокруг оси оу образуется тело вращения.

Т.к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси оу, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е. , тогда .

При этом , т.е. .

Тогда

(ед 3 .)

Пример 3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

- парабола с вершиной в точке , симметрична относительно оси OY;

- парабола с вершиной в точке , симметрична относительно оси OX.

- прямая, параллельная оси OX;

- ось OY.

При вращении криволинейной трапеции (рис.13) вокруг оси OX образуется тело вращения.

По условию фигура вращается вокруг оси OX. Тогда искомый объём равен разности двух объёмов: объёма V_x1, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями и объёма V_x2, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями Т.о.

Вычислим .

Для V_x1: , при этом . Тогда

(ед 3 .)

Вычислим .

Для V_x2: ,т. е Тогда (ед 3 .)

Т.о. (ед 3 .)

Задания для самостоятельной работы по теме "Вычисление объема тела вращения"

1.Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:

2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:

3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:

4. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:

5. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:

6. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:

7. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:

8. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:

9. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:

10. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:

Ответы для самостоятельной работы по теме "Вычисление объема тела вращения"