Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения.

Например, в формуле , площадь S круга является величиной переменной, зависящей от радиуса круга R.

Переменные величины обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита: x,y,z,u.

Переменная величина х считается заданной, если известно множество значений, которое она может принимать. Это множество называется областью изменения переменной.

Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной величиной.

Примерами таких величин могут служить: скорость света, скорость звука в вакууме, постоянная Планка ( ) и т.д.

Постоянные величины обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а,b,c. .

В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.

Для исследования различных явлений полезно знать, как изменение одних величин влияет на другие величины.

Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между двумя (несколькими) переменными величинами при их совместном изменении, или установлением зависимости между элементами двух (нескольких) множеств.

Пусть даны две переменные х и y с областями изменения Х и Y. Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону каждому значению ставится в соответствие одно определенное значение .

Для указания этого факта, что y есть функция от х, пишут: , , и т.п.

Можно также сказать, что функция f отображает множество Х на множество Y. Это обозначается так (рис.1.1).

Переменная х называется независимой переменной или аргументом.

Переменная y называется зависимой переменной или функцией.

Относительно самих величин х и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция y определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

Множество Х называется областью определения функции и обозначается .

;

;

;

;

; ;

; ;

,

где , и .

1) ;

2) .

Область определения функции может состоять из одного или нескольких промежутков и из отдельных точек.

Множество значений Y называется областью изменения или областью значений функции, и обозначается .

Область изменения функции (множество ее значений) определяется законом соответствия.

1) ; ;

2) ; .

Функция называется числовой функцией, если ее область определения и множество значений содержатся в множестве действительных чисел R.

В дальнейшем будем изучать лишь числовые функции. Частное значение функции при записывается так: .

Например, если , то , , и т.п.

Функция, определенная на множестве натуральных чисел , называется последовательностью.

Значения функции т.е. элементы множества называются членами последовательности, а – общим членом последовательности.

Последовательность обычно обозначают через или .

Например, ; .

Для наглядного представления функции строят ее график.

Графиком функции называется множество всех точек плоскости , для каждой из которых х является значением аргумента,

Например, графиком функции является верхняя полуокружность радиуса с центром в (рис. 1.2).