11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

2566. Решить квадратное уравнение х 2 — 10х + N = 0, полагая:

2567. Показать, что следующие квадратные уравнения не имеют корней в множестве вещественных чисел:

Назвать среди них числа: 1) натуральные; 2) положительные; 3) отрицательные; 4) рациональные; 5) иррациональные; 6) действительные; 7) мнимые; 8) чисто мнимые; 9) комплексные.

2569. 1) Назвать действительную часть следующих комплексных чисел:

2) Назвать коэффициент при мнимой части следующих комплексных чисел:

Назвать числа: 1) сопряженные данным; 2) противоположные данным.

2571. Пользуясь условием равенства комплексных чисел, определить х и у из уравнений (х и у — вещественные числа):

2572. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы комплексное число а + bi было равно своему сопряженному числу. Привести примеры.

2573. Укажите на координатной плоскости точки, изображающие числа:

2574. В какой четверти координатной плоскости расположены точки, изображающие числа: 3 + 5i; — 4 + i; 2,5 — 6i; —1 — i.

2575. Написать числа, соответствующие точкам А, В, С, D, E, F, G, Н, К, L, расположенным на координатной плоскости (рис. 75).

2576. На координатной плоскости дан круг с центром в начале координат и радиусом, равным 2 (рис. 76). Какие числа соответствуют точкам А, В, С, D, E, F, лежащим в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в этот круг?

2577. Дано число — 3 + 4i. Как располагается на координатной плоскости точка, изображающая число:

2578. Дана точка, изображающая число 5 — 2i. Какие числа будут изображать точки, симметричные данной: 1) относительно действительной оси; 2) мнимой оси; 3) относительно начала координат?

2579. Где на координатной плоскости располагаются точки, изображающие все комплексные числа, у которых:

2580. Найти длину отрезка, соединяющего точки, изображающие числа

2581. Построить вектор, изображающий комплексное число:

2582. Вектор OM > , равный 2, подвергнут двум операциям: операции растяжения в 1 /₂ раза и операции поворота на угол 3π /₂ . Построить полученный вектор и написать соответствующее ему число.

2583. Для каждого числа, данного в таблице 14, построить соответствующий вектор, выполнить указанные операции растяжения и поворота, построить полученный вектор и написать соответствующее ему число (заполнить таблицу).

2584. Что называется модулем комплексного числа а + bi и каким символом он обозначается? Каков геометрический смысл модуля комплексного числа?

2586. Что можно сказать о модулях двух сопряженных комплексных чисел; о модулях двух противоположных комплексных чисел?

2587. Дано число 5 + 2i. Написать комплексное число х + yi такое, чтобы

2588. Найти геометрическое место точек координатной плоскости:

2589. Найти геометрическое место точек координатной плоскости, удовлетворяющих условию: 2 < | z |< 3.

2590. Какое множество точек плоскости соответствует комплексным числам, удовлетворяющим неравенству | х + yi | > 1?

2593. Следующие комплексные числа изобразить векторами и определить модуль и аргумент каждого числа:

2594. 1) Чему равен аргумент: а) чисто мнимого числа; б) любого отрицательного числа; в) любого положительного числа?

2) Аргумент комплексного числа а + bi равен φ . Чему равен аргумент числа а — bi?