Объём тела, образованного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле
.
Объём тела, образованного вращением вокруг оси оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле
.
Пример 1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями
- ветвь параболы, расположенная выше оси OX, т.к. ;
- прямая, параллельная оси OY;
- ось OX.
При вращении криволинейной трапеции (рис.11) вокруг оси ох образуется тело вращения.
Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси ох, то объём тела вращения вычислим по формуле .
По условию , т.е. , тогда При этом , т.е.
Тогда (ед 3 .)
Пример 2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями
- гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных углах;
- прямая, параллельная оси OX;
- прямая, параллельная оси OX;
- ось OY.
При вращении криволинейной трапеции (рис.12) вокруг оси оу образуется тело вращения.
Т.к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси оу, то объём тела вращения вычислим по формуле .
По условию , т.е. , тогда .
При этом , т.е. .
Тогда
(ед 3 .)
Пример 3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями
- парабола с вершиной в точке , симметрична относительно оси OY;
- парабола с вершиной в точке , симметрична относительно оси OX.
- прямая, параллельная оси OX;
- ось OY.
При вращении криволинейной трапеции (рис.13) вокруг оси OX образуется тело вращения.
По условию фигура вращается вокруг оси OX. Тогда искомый объём равен разности двух объёмов: объёма Vx1, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями и объёма Vx2, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями Т.о.
Вычислим .
Для Vx1: , при этом . Тогда
(ед 3 .)
Вычислим .
Для Vx2: ,т. е Тогда (ед 3 .)
Т.о. (ед 3 .)
Задания для самостоятельной работы по теме "Вычисление объема тела вращения"
1.Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:
2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:
3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:
4. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:
5. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:
6. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:
7. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:
8. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:
9. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:
10. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:
Ответы для самостоятельной работы по теме "Вычисление объема тела вращения"
Коэффициент роста показывает
Функция распределения функция лапласа