Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение: они широко используются в механике, астрономии, физике и других науках. Широкое распространение дифференциальных уравнений в естествознании объясняется тем, что многие явления и процессы, происходящие в природе, количественно описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

При решении дифференциальных уравнений главной задачей является определить тип дифференциального уравнения, а затем четко следовать алгоритму решения дифференциальных уравнений этого типа.

Проинтегрируем левую и правую части последнего равенства

Данное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой . Считая функцией от , получим:

Подставляя полученные выражения в первое уравнение, приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Введем замену

Подставляя замену в последнее уравнение, будем иметь:

Сделаем обратную замену :

Выразим из последнего уравнения :

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно 0. Тогда имеет место система

Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Положим , тогда . Подставим найденное значение во второе уравнение и решим его:

Учитывая, что мы искали решение в виде , искомая функция

Функцию подбираем так, чтобы выражение в скобках равнялось 0. Имеет место система

Первое дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:

Полагая и потенцируя полученное уравнение по основанию , имеем, что . Подставим найденное значение во второе уравнение системы:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Его решение

Учитывая, что решение ищется в виде , получим:

Используя начальное условие , найдем значение константы интегрирования:

Таким образом, частное решение заданного уравнения будет иметь вид: