Интегрирование дифференциального бинома. Выражение вида , где – рациональные числа, а – действительные числа, называется дифференциальным биномом.

Как показал Чебышев П.Л., интеграл (16.43) рационализируется лишь в следующих трех случаях:

если – целое число, то применяется подстановка , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей и ;

если – целое число, то применяется подстановка , где – знаменатель дроби ;

если – целое число, то применяется подстановка , где – знаменатель дроби .

Во всех остальных случаях интеграл (16.43) через элементарные функции не выражается.

• Дробно-линейное программирование Математическая модель задачи Дробно-линейное программирование относится к нелинейному программированию, так как имеет целевую функцию, заданную в нелинейном виде.

○ Здесь имеем . Так как , то в соответствии со случаем 3), делаем подстановку

, . Таким образом,

Интегралы вида . Среди интегралов от иррациональных функций такие интегралы имеют наибольшие практическое применение. Рассмотрим несколько способов интегрирования этих функций.

Выделив под знаком радикала полный квадрат в квадратном трехчлене и сделав подстановку , исходный интеграл приводится к интегралу одного их следующих трех типов: 1) ; 2) ; 3) .

Четвертая комбинация знаков приводит нас к подынтегральной функции, которая не существует в действительной области.

Покажем, что интегралы этих трех видов с помощью соответствующих тригонометрических подстановок приводятся к интегралам вида .

1) Применяя подстановку , получим ,

2) Применяя подстановку , получим ,

3) Применяя подстановку , получим ,

Интегралы вида , как известно, могут быть выражены через интегралы от рациональных алгебраических функций.

○ В соответствии с 2) применим подстановку . Тогда , , . Следовательно,

Метод неопределенных коэффициентов. Вычисление интегралов вида часто сводится к нахождению интегралов следующих трех типов:

1. ; 2. ;

где – многочлен, .

Покажем, что интегралы 2-го и 3-го типов могут быть сведены к интегралу 1-го типа.

Для приведения интеграла 3-го типа к интегралу 1-го типа применяется подстановка , , . Тогда,

где – коэффициенты трехчлена, полученные после приведения подобных членов, – многочлен.

Интегралы 1-го типа всегда можно представить в виде

где – многочлен -й степени с неопределенными коэффициентами, – также неопределенный коэффициент.

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяется метод неопределенных коэффициентов (метод Остроградского М.В. * ), согласно которому дифференцируют обе части равенства (6.47), затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , определяют и коэффициенты многочлена .

Дифференцируя это равенство, затем умножая на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , определим коэффициенты :

.

Интегралы вида где , в общем случае не выражается через элементарные функции. При этом, если или , то они называются эллиптическими, если же , то – ультраэллиптическими. В некоторых частных случаях интегралы могут выражаться и через элементарные функции, они называются псевдоэллиптическими.