1.2.9. Пользуясь известными признаками сходимости, исследовать сходимость следующих рядов:

При решении использовали – второй замечательный предел.

Так как – то данный ряд сходится.

Так как – то данный ряд расходится.

1.3.9. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

Воспользуемся достаточным признаком сходимости знакопеременных рядов. Для этого определим сходимость ряда составленного из модулей членов данного ряда:

Так как , то ряд, составленный из модулей членов данный ряд, сходится.

Таким образом, исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Воспользуемся достаточным признаком сходимости знакопеременных рядов. Для этого определим сходимость ряда составленного из модулей членов данного ряда:

Ряд, составленный из модулей членов данный ряд, расходится.

1. последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает:

2. Общий член ряда стремится к нулю , при этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам :

;

с погрешность вычисления равной .

Таким образом,

Ряд является условно сходящимся, т. к. ряд составленный из модулей членов данного рядя расходится, а данный ряд сходится по признаку Лейбница.

Область сходимости ряда: => =>

При имеем ряд:

Тогда область сходимости ряда:

1.5.9. Разложить в ряд Маклорена функцию . Указать область сходимости полученного ряда:

Область сходимости ряда: => =>

Тогда область сходимости ряда:

1.8.9. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

1.9.9. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля члена этого разложения).

,

при x=0

при x=0

Подставляем найденные значения производных в исходный ряд, получаем:

4.1.9. Основные понятия и теоремы теории вероятностей:

Вероятность попадания в цель равна 0,003. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью, большей 0,94, можно было утверждать, что цель будет поражена?

; ; ;

Найдем максимальное значение n, решая правую часть неравенства.

Чтобы найти максимум данной функции, найдем ее производную:

С вероятностью, большей 0,94, мы не можем утверждать, что цель будет поражена, если вероятность попадания в цель равна 0,003.

Из каждого десятка деталей 9 удовлетворяют стандарту. Найти вероятность того, что из 50 взятых со склада деталей число стандартных окажется между 42 и 48.

По интегральной теореме Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна (0 при этом , событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна:

– функция Лапласа

;

Значения функции Лапласа находим по специальной таблице.

Найдем вероятность появления стандартной детали и вероятность появления нестандартной:

;

Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: и , причем . Вероятность того, что Х примет значения , равна 0,2. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение .