Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число -3, точка B - число 2, и O - ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :

Здесь k - целое. Чтобы получить n различных значений корня n-ой степени из z необходимо задать n последовательных значений для k ( например, k = 0, 1, 2,…, n - 1 ) .

Действия над комплексными числами имеют простой геометрический смысл. Начнём со сложения. Пусть число изображается точкой , - точкой , а - точкой (рис 3). Тогда , , . Таким образом, точка имеет координаты и, значит, .

Выясним геометрический смысл операций умножения комплексного числа на вещественное. Пусть число изображается точкой , - вещественное число; изображается точкой . Тогда , . Таким образом, точка имеет координаты и, значит, (рис 4).

Геометрический смысл операции умножения на комплексное число мы выясним позже.В дальнейшем мы часто будем отождествлять комплексное число с точкой на комплексной плоскости, его изображающей. Так, например, мы будем говорить «точка» вместо более длинной фразы «точка, изображающая комплексное число».

Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.

П р и м е р . Функция y = является бесконечно малой при x,

Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.

Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:

Символ ( “бесконечность” ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при x, стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x < 3 ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях x, это отражается в записи. Например, при x 0 функция y = x - 2 бесконечно большая, но она положительна как при x > 0, так и при x < 0 ; это выражается так:

Наоборот, функция y = - x - 2 всегда отрицательна, поэтому

В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так: