Комплексное число называется комплексно сопряженным к , а отображение называется сопряжением. Сопряжение является биективным отображением комплексной плоскости на себя. С геометрической точки зрения операция сопряжение есть не что иное, как отражение относительно действительной оси.

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда z – действительное число. Кроме этого, сопряжение обладает свойством гомоморфности по отношению к сложению и умножению:

Эти свойства проверяются непосредственно. Как и всякая симметрия, сопряжение обладает свойством инволютивности: для любого .

Отметим также свойство , которое приводит к следующему правилу деления комплексных чисел: для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое надо числитель и знаменатель дроби умножить на величину сопряженную знаменателю (см. пример Б, §1).

3 Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Изобразим комплексное число вектором. Длина этого вектора, т. е. величина называется модулем комплексного числа и обозначается . Если — действительное число, то приходим к «школьному» модулю, ибо . Если , то угол, который образует вектор с действительной осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Пусть – модуль и аргумент ненулевого комплексного числа. Тогда

Выражение называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Свойства модуля. Для любых комплексных чисел имеют место соотношения:

б) (неравенство треугольника);

Извлекая квадратный корень, получим равенство . Второе равенство следует из первого, ибо оно эквивалентно следующему соотношению: .

Докажем неравенство треугольника. Обозначая и возводя в квадрат, заменяем это неравенство на равносильное:

Возводя в квадрат в левой части и сокращая, получаем эквивалентное неравенство

которое, после возведения в квадрат и сокращения, превращается в неравенство

Следствие. Множество комплексных чисел с единичным модулем (обозначим: – комплексная единичная окружность) замкнуто относительно умножения и обращения.

Перемножим два комплексных числа в тригонометрической форме записи:

Применяя тригонометрические формулы «косинус суммы» и «синус суммы», приходим к следующему правилу: при перемножении комплексных чисел модули умножаются, а аргументы складываются

В частности, перемножая число на себя n раз, получаем формулу Муавра:

Умножая произвольное комплексное число-вектор на комплексное число вида , увеличиваем аргумент у комплексного числа на величину , не меняя модуля. Это преобразование соответствует повороту комплексной плоскости на угол Умножение на положительное действительное число есть гомотетия комплексной плоскости (растяжение в раз, если и сжатие в раз, если ). Итак, преобразование

представляет из себя последовательное выполнение двух геометрических преобразований над вектором — поворота и гомотетии. В этом и заключается геометрический смысл умножения комплексных чисел.

Пример. Вычислим . Для этого сначала найдем модуль и аргумент числа :

Для того чтобы найти аргумент изобразим комплексное число вектором, очевидно лежащем на биссектрисе первого квадранта, и ответ или, по другому, станет понятен. Далее