называется непрерывной кусочно-гладкой, если функции непрерывны на и отрезок можно разбить на конечное число частичных отрезков точками

так, что на каждом из них функции имеют непрерывные производные, одновременно не равные нулю.

На рис. 64 изображена непрерывная кусочно-гладкая кривая. В точках и она непрерывна, но производные все или некоторые терпят разрыв (первого рода!).

Кривую (1) будем обозначать одной буквой, например буквой . Обычно обозначает не только геометрическое место точек , определяемых уравнением (1), но и порядок следования этих точек, когда непрерывно возрастает от до . В этом смысле говорят, что есть ориентированная кривая. Порядок следования обозначают на рисунке стрелкой (рис. 64) - когда непрерывно возрастает от до , точка движется по в направлении стрелки.

Если есть функция, имеющая непрерывную положительную производную на некотором отрезке и при этом , то уравнение

определяет ту же ориентированную кривую, что и . Ее обозначают той же буквой , только говорят в случае уравнения (1), что определяется параметром , а в случае (1') - параметром . В обоих случаях при возрастании от до или возрастании от до соответствующие точки движутся в одном и том же направлении.

Другое дело, если совершить замену , где имеет непрерывную отрицательную производную на отрезке . В этом случае , и при непрерывном возрастании от до параметр будет убывать и стрелку на нашем геометрическом объекте придется направить в другую сторону.

Поэтому кривую (1') в случае, когда , мы будем обозначать другим символом и говорить, что есть та же кривая, кто и , но ориентированная в противоположную сторону. Иногда исходную ориентированную кривую мы будем обозначать символом .

Ориентированная кривая (1) называется замкнутой или замкнутым контуром, если или, что все равно, если

Иначе говоря; когда значение параметра непрерывно возрастает от до , соответствующая точка проходит в пространстве непрерывный путь, начинающийся и кончающийся в одной и той же точке. Если при этом кривая в других точках сама себя не пересекает, то она называется замкнутой самонепересекающейся кривой. На рис. 65,а изображена замкнутая самонепересекающаяся кривая, а на рис. 65,б - замкнутая самопересекающаяся кривая.

Замечание. Векторное уравнение (1) кривой эквивалентно трем уравнениям

Пример 1. Пусть кривая задана уравнением

Так как , то данная кривая есть окружность радиуса с центром в начале координат. При возрастании от 0 до точка движется по окружности против часовой стрелки. При этом разным соответствуют разные точки . При и имеем . Значит, окружность является замкнутой самонепересекающейся кривой (рис. 66).

где - положительные числа, называется винтовой линией. Ее можно получить следующим образом. Отрезок длины , перпендикулярный оси , одним концом скользит по оси и одновременно поворачивается около оси , тогда другой конец отрезка описывает винтовую линию. Мы считаем, что высота подъема отрезка по оси пропорциональна углу поворота . При возрастании точка движется, как указано на рис. 67. Очевидно, что винтовая линия расположена на боковой поверхности кругового цилиндра радиуса , с образующей, параллельной оси .