Доказательство. Пусть е = (е₁, е₂,. , е_n) – произвольный базис пространства Е_n. Доказательство проведём в два этапа. Сначала на основе данного базиса получим ортогональный базис, а затем полученный базис нормируем.

Пусть е₁ 1 = е₁. Если е₂ ^ е₁, то возьмём е₂ 1 = е₂. Найдём коэффициент a так, чтобы вектор е₂ 1 = aе₁ + е₂ был ортогонален вектору е₁ 1 . Так как вектор е₂ 1 ¹ 0, то для этого необходимо и достаточно, чтобы (е₁ 1 , е₂ 1 ) = 0, т.е. (е₁, aе₁ + е₂) = 0. Отсюда aе₁ 2 + (е₁, е₂) = 0. Так как е₁ ¹ 0. то Так как е₁ 1 и е₂ 1 ортогональны, то они линейно независимы. Вектор е₃ 1 будем искать в виде е₃ 1 = a₁ е₁ 1 + a₂ е₂ 1 + е₃.Для того, чтобые₃ 1 был ортогонален е₁ 1 и е₂ 1 , необходимо и достаточно, чтобы (е₁ 1 , е₃ 1 ) = (е₂ 1 , е₃ 1 ) = 0. Получаем систему

Теорема 44. Скалярное произведение в ортонормированном базисе имеет единичную матрицу Грама.

Следствие. Если вектор а в ортонормированном базисе имеет координаты (х₁, х₂,…, х_n), то ½а½= (47).

Теорема 45.Определитель матрицы Грама и все её главные угловые миноры строго положительны.

Доказательство. Пусть в данном (но произвольном) базисе матрица Грама имеет вид

же скалярным произведением, то главный угловой минор матрицы Г будет для него матрицей Грама. Но тогда, по доказанному, этот минор положителен.

Примеры. Могут ли быть матрицами Грама следующие матрицы.

(а, в) = х Т ×Е×у = х Т ×у = (х₁, х₂, … , х_n) × = х₁у₁ + х₂у₂ + … + х_nу_n.

Решение. Если L ^ , то в Î L ^ Û (а₁, в) = (а₂, в) = 0. Пусть в = (х₁, х₂, х₃, х₄).Так как базис ортонормированный, то (а₁, в) = 2х₁ + х₂ + х₃ +2х₄ , (а₂, в) = –3х₁ +2х₂ –5х₃ + х₄ . Следовательно, в Î L ^ Û Решая эту систему, получим, что

Отсюда следует, что L ^ - двумерное линейное пространство, натянутое на векторы