Пусть a и b – целые неотрицательные числа, такие, что n(A) = a, n(B) = b, и установлено, что a < b. Это значит, что в множестве В можно выделить собственное подмножество В , равномощное множеству А, и множество В В не пусто. Пусть n(В В ) = с и с 0. Тогда в множестве В элементов столько же, сколько в множестве А, да еще с элементов. В этом случае говорят, что число а меньше числа b на с или что число b больше числа а на с.
Так как с = n(В В ), где В В, то c = b – a.
Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.
Взаимосвязь действий над множествами с действиями над числами, теоретико-множественный смысл отношений «меньше на», «больше на», позволяют обосновать выбор действий при решении задач с этими отношениями.
Рассмотрим, например, задачу: «На верхней полке шкафа 5 книг, а на нижней – на 2 больше. Сколько книг на нижней полке?»
Решение. В задаче идет речь о двух множествах: множестве книг на верхней полке (А) и множестве книг на нижней полке (В), т.е. n(A) = 5. Число элементов множества требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Наглядно это можно изобразить с помощью кружков (рис.7). Отношение «больше на» означает, что в множестве В столько же элементов, сколько их в А, да еще 2 элемента.
Пусть А = <a, b, c, d, f>, В = В (ВВ ). Т.к. В
Тогда число книг, на которые на нижней полке больше, чем на верхней, обозначим C = В В = <z, x>. Найдем множество книг на нижней полке: В = <q, w, e, r, t, z, x>, n(B) = 7.
Это значит, что n(B) = n(В ) + n(ВВ ). Т.к. В
Рассмотрим еще одну задачу. Во дворе гуляли 6 мальчиков, а девочек на 2 меньше. Сколько было девочек?
В задаче речь идет о двух множествах: множестве А мальчиков, множестве В девочек. Известно, что в первом множестве 6 элементов, т.е. n(A) = 6. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько в А, только без двух. Наглядно это можно представить с помощью треугольников (рис.8).
Таким образом, n(B) = n(A ) = n(A) – n(A A ) = 6 – 2 = 4.
Объясним решение следующей задачи: «У школы посадили 3 дуба и 7 лип. На сколько больше посадили лип?»
Решение. В задаче рассматриваются два: множество дубов А и множество лип В. Известно, что лип посадили больше. Тогда, чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно воспользоваться сформулированным выше правилом и найти ответ при помощи вычитания: 7 – 3 = 4 (липы).
Однако возникает вопрос: можно ли из количества лип вычитать количество дубов? Дело в том, что в данном случае мы из 7 лип вычитаем 3 липы. Чтобы убедиться в этом, изобразим дубы кружками, а липы квадратами (рис.9).
Чтобы ответить на вопрос задачи, выделим в множестве лип подмножество В , равномощное множеству дубов А, т.е. В
Т.о., количество лип, которое необходимо найти, равно разности n(B В ) = n(B) – n(В ) = 7 – 3 = 4.
Запиши в первый столбик все табличные случаи умножения числа 4