Определение асимптот функции не такое и трудное занятие если Вы хорошо знаете ряд правил и имеете добрые знания вычисления пределов. Если же не умеете находить пределы то наверстывать придется много, но научиться можно.

Прямая называется асимптотой кривой если точка кривой неограниченно приближается к ней при росте абсциссы или ординаты. Асимптоты разделяют на вертикальные, наклонные (горизонтальные) асимптоты.

График функции при аргументе котрый стремится к точке имеет вертикальную асимптоту, если предел функции в ней бесконечен

Кроме этого точка является точкой разрыва II рода, а уравнение вертикальной асимптоты имеет вид

где - пределы, которые вычисляются по правилу

Если оба пределы существуют и конечны то функция имеет наклонную асимптоту, иначе - нет. Следует отдельно рассматривать случаи, когда аргумент стремится к бесконечности ( ) и минус бесконечности ( ).

Кривая имеет горизонтальную асимптоту только в том случае, когда существует конечный предел функции при и , и эта граница равна

Нахождение пределов в некоторых случаях упрощается, если применять правило Лопиталя.

Приведем решения типичных для практики задач на отыскание асимптот.

Найти асимптоты функций (Дубовик В.П., Юрик И.И. "Высшая математика. Сборник задач")

По теореме Виета находим корни квадратного уравнения

Они разбивают область определения на следующие интервалы

Другим выводом является то, что функция имеет две вертикальные асимптоты

Окончательное уравнение наклонной асимптоты следующее

Логарифм функция определена при положительных значениях аргумента и стремится к бесконечности при , это означает

Из этого следует что функция имеет вертикальные асимптоты при

С виду функции следует что функция имеет вертикальную асимптоту

Наклонных асимптот функция не имеет. График функции с асимптотами приведен ниже

(Клепко В.Ю., Голец В.И. "Высшая математика в примерах и задачах")

С виду функции следует что она определена во всех точках где знаменатель не превращается в ноль, из этого следует

Эти точки представляют собой вертикальные асимптоты, а также разделяют область определения на интервалы

Наклонных асимптот функция не имеет. Это следует из одного свойства которым я поделюсь с Вами: функции вида "многочлен разделить на многочлен" имеет наклонную асимптоту только в случаях, когда наибольший степень в числителе на единицу больше, чем в знаменателе, т.е.

При функция имеет вертикальную асимптоту. Наклонных асимптот нет, одна горизонтальная, так как степень числителя и знаменателя равны

Точка будет вертикальной асимптотой. Наклонных асимптот нет, горизонтальную находим с предела

Точка является вертикальной асимптотой. Наклонную асимптоту находим на основе пределов

Функция с асимптотами изображена на рисунке

Точка – вертикальная асимптота. Наклонная асимптота будет известна после вычисления пределов

– уравнение наклонной асимптоты.

Подобных примеров можно решить еще много, схема нахождения асимптот при этом не меняется. Бывают

примеры в которых нахождение пределов трудоемкое и занимает более половины объема этой статьи, но