Определение 4. Сходящийся, но не абсолютно сходящийся ряд называется условно сходящимся рядом.

Примером условно сходящегося ряда является ряд (-1) n /n (пример 2 из п. 30.6). Для ряда

с действительными членами обозначим через , , . , . и , , . , . соответственно его неотрицательные и отрицательные члены, взятые в том же порядке, в котором они расположены в ряде (30.59). Очевидно, > 0, n = 1, 2, .

Если одно из множеств < > или < > окажется конечным, то, отбросив в ряде (30.59) соответствующее конечное число первых членов (от чего сходимость ряда не нарушится), получим остаток ряда, члены которого будут неотрицательны или неположительны и, следовательно, во втором случае неотрицательны после умножения всех членов на -1. И в том, и в другом случае, если исходный ряд сходится, то он очевидным образом абсолютно сходится. Таким образом, если ряд (30.59) условно сходится, то оба множества < > и < > бесконечны, т. е. являются последовательностями. Рассмотрим ряды

Согласно определению члены этих рядов и неотрицательны, поэтому если они расходятся, то

= + , = + .

Лемма 2. Если ряд (30.59) условно сходится, то оба ряда (30.60) и (30.61) расходятся.

s_n = |u_k|, _n = |u_k|, = , = .

Поскольку все слагаемые последних трех сумм _n, , и неотрицательны, то последовательности этих сумм возрастают и, следовательно, имеют конечные или бесконечные пределы. Суммы s_n и _n можно представить в виде

(для заданного ряда m и k зависят от n = k + m); при этом условие стремления n к бесконечности равносильно стремлению к бесконечности каждого из индексов m и k. Действительно, если бы при n номера m = m(n) (соответственно k = k(n)) не стремились к бесконечности, то это означало бы, что в ряде (30.59) имеется лишь конечное число неотрицательных (соответственно отрицательных) членов, а в этом случае ряд (30.59) абсолютно сходился бы, что противоречило бы его условной сходимости. То, что при k (соответственно при m ) имеет место n , очевидно в силу равенства n = k + m.

В силу сходимости ряда (30.59) последовательность <s_n> сходится. Если бы сходилась одна из последовательностей < > или < > (т. е. сходился бы один из рядов (30.60) или (30.61)), то из равенства (30.62) следовало бы, что сходится и другая, а тогда в силу равенства (30.63) оказалось бы, что сходится последовательность < _n>. Это же означает абсолютную сходимость ряда (30.59), что противоречит сделанному предположению. Поэтому ряды (30.60) и (30.61) расходятся.

Теорема15 (Риман). Если ряд с действительными членами условно сходится, то, каково бы ни было действительное число s, можно так переставить члены этого ряда, что сумма получившегося ряда будет равна s.

Пусть члены ряда (30.59) - действительные числа, и пусть произвольно задано число s. Рассмотрим ряды (30.60) и (30.61) Наберем из (30.60) подряд столько членов, чтобы их сумма превышала s и чтобы сумма меньшего числа этих членов была не больше s. Точнее, обозначим через n₁ наименьшее натуральное число, при котором выполняется условие

+ . + > s.