Обобщением определенного интеграла на случай функции нескольких переменных является кратный интеграл. К кратным интегралам приводит и решение многих практических задач: вычисление объема тела, массы плоской пластики и т.д.

В данных методических указаниях подробно рассматриваются двойной и тройной интегралы, их вычисление и приложения.

Студенту предлагается изучить соответствующий теоретический материал: определение и основные свойства, вычисление, замена переменных в двойном и тройном интегралах. Также необходимо ознакомиться с решением типовых задач по теме (изменение порядка интегрирования, вычисление двойного, тройного интегралов, нахождение площади, массы плоской пластинки, объема тела).

В конце методических указаний приведены 30 вариантов заданий для выполнения расчетно-графической работы, что позволяет проверить уровень усвоения материала по теме.

Определение и основные свойства двойного интеграла

Рассмотрим в плоскости XOY замкнутую область D, ограниченную линией L. Пусть в каждой точке P(x,y) определена непрерывная функция z=f(P).

Разобьем область D произвольным образом на n частей ∆S_i. В каждой из площадок выберем точку P_i и вычислим в ней значение функции z_i =f(P_i). Составим сумму произведений вида f(P_i)∆S_i:

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции z=f(P) в области D.

Диаметром d_i площадки ∆S_i назовем наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой площадки.

Если при max d_i→0 интегральная сумма V_n имеет определенный конечный предел , не зависящий от способа разбиения области D на частичные области ∆S_i и от выбора точек P_i внутри каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(P) в области D и обозначается таким образом

,

1. ;

2. ;

3. где D= D₁ U D₂.

Выражение вида называют повторным или двукратным интегралом по области D, D – область, ограниченная линиями x=a; x=b; y=y₁(x); y=y₂(x).

Если область D ограничена линиями y=c; y=d; x=x₁(y); x=x₂(y), то повторный интеграл по области D имеет вид: .

Область D называется правильной, если всякая прямая, проходящая через область D, пересекает ее границу не более чем в двух точках.

Если функция z=f(P) непрерывна в области D и область D – правильная, то двойной интеграл от этой функции по области D равен повторному интегралу по той же области.

.

Пусть в плоскости XOY дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что координаты x и y являются функциями новых переменных u и v: x = j(u,v), y = ψ(u,v); причем функции j(u,v) и ψ(u,v) однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой области D¢.

называется функциональным определителем функций j(u,v) и ψ(u,v). Его называют также якобианом по имени немецкого математика Якоби.

Пусть функция z = f(x,y) непрерывна в области D, тогда функция F(u,v) = f(φ(u,v),ψ(u,v)) непрерывна в области D′ и выполняется равенство:

.

Это и есть формула преобразования координат в двойном интеграле.

Рассмотрим частный случай перехода от декартовых координат к полярным координатам. В этом случае .

,

.

Следовательно, и формула перехода от декартовых координат к полярным имеет вид: