Формула Эйлера утверждает, что для любого комплексного числа (действительного в частности) x <\displaystyle x> выполнено следующее равенство:

где e <\displaystyle e> — одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой: e = lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x <\displaystyle e=\lim _\left(1+<\frac <1>>\right)^> ,

Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria ), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году [1] и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum ), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора [2] . Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид [3] :

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum ) (1748) [4] , построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у Г. Весселя.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть x = i y <\displaystyle x=iy>, тогда:

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: x = a + i b = | x | ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) = | x | e i φ <\displaystyle x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^> .

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).