Пусть на области плоскости задана аналитическая функция . Тогда, как это уже было отмечено в § 6.2, функция имеет на непрерывные производные любого порядка. Но тогда функции и имеют на непрерывные частные производные любого порядка, а первые производные удовлетворяют условиям Коши - Римана

, , (1)

, .

называют уравнением Лапласа. Символ называют оператором Лапласа.

Функцию , имеющую непрерывные частные производные второго порядка на и удовлетворяющую уравнению Лапласа (3), называют гармонической на .

Итак, мы установили, что действительная часть аналитической на функции является гармонической функцией на .

Если первое равенство в (1) продифференцировать по , а второе - по и вычесть второе равенство из первого, то будем иметь

т. е. и мнимая часть аналитической функции является гармонической функцией.

Однако функция , где и - произвольные гармонические на функции, не всегда является аналитической на . Она будет аналитической, только если функции и удовлетворяют на условиям Коши - Римана.

Покажем, что если есть односвязная область, то для всякой гармонической на функции существует единственная, с точностью до произвольной постоянной, сопряженная к на функция такая, что

аналитическая на .

Пусть задана на гармоническая функция . Положим

, .

Так как имеет на непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяющие уравнению Лапласа, то

на

и односвязности следует (см. § 3.4), что криволинейный интеграл

вдоль любого кусочно-гладкого пути , соединяющего точки и , зависит от этих точек, но не зависит от формы пути. При этом есть функция, потенциальная для вектора на , т. е.

, .

Это показывает, что имеет непрерывные частные производные на , удовлетворяющие вместе с условиям Коши - Римана. Но тогда и - сопряженные друг к другу функции.

Если - другая функция, сопряженная к на , то

, . (6)

, на .

Но тогда на , где - постоянная. Утверждение доказано.

Пример 1. Функция удовлетворяет, очевидно, уравнению . Найти аналитическую функцию , у которой .

Мнимую часть этой функции ищем по формуле (4) (рис. 134):

Тогда функция аналитическая во всей комплексной плоскости.

Пример 2. Функция аналитическая на плоскости . Следовательно, функции , гармонические и удовлетворяют условиям Коши - Римана на плоскости . Это можно проверить непосредственно.

Пример 3. Функции , гармонические, но условия Коши - Римана для них не выполнены, поэтому функция не является аналитической. Убедимся в этом непосредственно: , , .

Выбираем два пути подхода точки к точке , а именно, a) , ; б) , . Тогда:

в случае а) , т. е. ;

в случае б) , т. е. .

Таким образом, предела при не существует и функция не имеет производной в любой точке плоскости.

Замечание. В полярных координатах , гармоническая функция перейдет в некоторую новую функцию относительно координат и

и правую часть этого символического равенства называют оператором Лапласа в полярных координатах. Мы доказали, что