Рассмотрим дальнейшие примеры на все признаки сходимости.

Но ряд с общим членом сходится (это геометрическая прогрессия со знаменателем По первой теореме сравнения заданный ряд сходится.

Необходимое условие сходимости ряда выполняется, но ряд расходится. Действительно,

Ряд с общим членом расходится (это гармонический ряд). Поэтому на основании первой теоремы сравнения и заданный ряд расходится.

Замечание. Мы использовали неравенство Для его доказательства рассмотрим функцию

Ее производная больше нуля при положительных значениях х. Следовательно, на функция монотонно возрастает, а так как то она положительна на Полагая теперь имеем:

Решение. Необходимое условие сходимости выполняется. Возьмем гармонический ряд (его общий член и рассмотрим предел

Предел существует и отличен от нуля. Поскольку гармонический ряд расходится, то на основании второй теоремы сравнения заданный ряд также расходится.

Пример 6.9. Оценим остаток ряда:

начиная со второго, меньше соответствующих членов геометрической прогрессии

Поэтому остаток меньше суммы этой геометрической прогрессии, которую обозначим

Следовательно, Если, например, взять вместо

суммы данного ряда частичную сумму то возникающая при этом погрешность , таким образом, будет допущена ошибка, меньшая, чем

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Общий член ряда Поэтому

Ряд сходится. Заметим, что мы доказали также соотношение

Решение. Как и в предыдущем примере, воспользуемся признаком Даламбера:

При имеем , следовательно, ряд сходится. При ряд расходится, так как При имеем Признак Даламбера формально не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, но поскольку в рассматриваемом случае

стремится к пределу монотонно возрастая, то Это означает, что и потому для

каждого Таким образом, необходимый признак сходимости нарушается и ряд расходится. Итак, заданный ряд сходится при и расходится при х е.

Решение. Общий член ряда Так как в рассматриваемом случае легко найти то воспользуемся признаком Коши:

Значит, ряд сходится. Отсюда следует, что, в частности,

Пример 6.13. Докажем сходимость ряда и оценим погрешность при замене суммы ряда суммой первых десяти членов.

Решение. Признаки Даламбера и Коши здесь не дают ответа на вопрос о сходимости ряда. Члены ряда положительны и монотонно убывают. Рассмотрим функцию

При она положительна и монотонно убывает. При ее значения совпадают с соответствующими членами ряда. Согласно интегральному признаку Коши, данный ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Поскольку очевидно, что то интеграл, а

следовательно, и ряд сходятся. Для оценки остатка воспользуемся формулой (6.2)

По таблице логарифмов находим, что

Пример 6.14. Сколько членов ряда следует взять, чтобы вычислить сумму ряда с точностью до 0,002?

Решение. Оценим величину Имеем:

Поэтому нам нужно выбрать такое значение чтобы выполнялось неравенство

Так как то достаточно решить неравенство т. е. неравенство или, иначе, Подбором находим