А) В данном случае

Б) Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.

;

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.

В) Так как в записи общего члена ряда есть факториал ( ), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда

В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.

Г) Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь

Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.

Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его

Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.

Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

Таким образом, исходный ряд и ряд сходятся и расходятся одновременно. Т. к. ряд сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.

Д) Так как , то

Ряд расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.

Ряд сходится , следовательно, эквивалентный ряд также сходится. Т. к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.

Пример2. Найти область сходимости ряда .

Ряд сходится, если

или ;

или ,

Ряд расходится, если .

Неопределенный случай: т. е. или ,

Пусть : ‑ сходится.

Ряд сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.

Пусть : .

Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т. к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.

Получили, что ‑ область сходимости ряда.

Пример 3. Вычислить с точностью интеграл .

Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена:

Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .

Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения :

Найдем , продифференцировав обе части равенства по :

А) в интервале (-2, 2):

Б) по синусам на интервале .

Разложение периодической (период ) функции имеет вид:

Где

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

Подставляя полученные значения в разложение , получим:

Б) Продолжим функцию на отрезок нечетным образом (рис. 1).

Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т. е. .

Найдем коэффициенты , используя формулу:

Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям: