Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:

Составим вспомогательное ЛОДУ−I у¢+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть получим, что у=f(x)+C, где С=const – общее решение вспомогательного уравнения.

Теперь будем искать общее решение заданного уравнения в виде у=f(x)+C(х), где С(х) – некоторая теперь функция от х.

Найдём производную полученного выражения у¢ и подставим у и у¢ в заданное уравнение из которого выразим неизвестную функцию С(х) (заметим, что при данной подстановки два слагаемых в уравнении обязательно взаимно уничтожатся).

Подставим найденную функцию С(х) в общее решение заданного уравнения.

Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

Задание 3. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

Если R(x)=0, то уравнение называется уравнением без правой части или однородным ЛОДУ−II.

Если R(x)≠0, то уравнение называется уравнением с правой части или неоднородным ЛНДУ−II.

Составим характеристическое уравнение аk 2 +bk+c=0, которое в зависимости от D может иметь различные решения.

· если D>0, то аk 2 +bk+c=0 имеет два различных действительных корня k₁ и k₂, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

· если D=0, то аk 2 +bk+c=0 имеет два совпавших действительных корня k₁=k₂=k, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

· если D<0, то аk 2 +bk+c=0 имеет два различных комплексных корня k_1,2=a±bi, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

Его общее решение имеет вид: , где

- общее решение ЛОДУ−II ау²+bу¢+cу=0;

- частное решение ЛНДУ−II ау²+bу¢+cу=R(x), которое ищется, в зависимости от правой части по одному из правил.

· k – не является корнем характеристического уравнения аk 2 +bk+c=0, то у*=Q(х)е kx , где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

· k – является однократным корнем характеристического уравнения (то есть один из неравных корней D>0) аk 2 +bk+c=0, то у*=хQ(х)е kx , где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

· k – является двукратным корнем характеристического уравнения (то есть один из равных корней D=0) аk 2 +bk+c=0, то у*=х 2 Q(х)е kx , где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

Замечание 1: Если множитель Р(х) – есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q(x) – тоже постоянная величина (многочлен нулевой степени).