где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.

для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции. Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости) . Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в точке частные производные по каждой переменной и .

При этом ,, где и – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде

Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Дифференци́руемая фу́нкция — это функция, которая может быть хорошо приближена к линейной функции. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.

* Пусть дана функция fcolon Msubset R o R, и x_0in M — внутренняя точка области определения f. Тогда f называется дифференци́руемой в x0, если существует окрестность U(x_0)

i x_0 и число A in mathbb такие, что в этой окрестности для f справедливо представление

где o(x − x0) обозначает величину, пренебрежимо малую по сравнению с x − x0 при x o x_0. Если f дифференцируема в x0, пишут f in mathcal(x_0).

* Линейное отображение l(h) = Ah,; h in R, где A — константа из предыдущего определения, называется дифференциа́лом функции f в точке x0 и обозначается df(x0).

* Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке M(x;y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

* Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того

* Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.

* Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть

Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция f_lcolonmathbb o mathbb, задаваемая уравнением fl(x) = f(x0) + (f)'(x0)(x − x0), называется касательной к функции f в точке x0.

* Функция f(x) = x2 определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление

Таким образом имеем: f'(x0) = 2x0. Уравнение касательной для этой функции имеет вид: f_l(x) = x_0^2 + 2x_0(x-x_0). Дифференциал этой функции задаётся формулой: df(x0)(h) = 2x0h.

* Функция f(x) = | x | является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке x0 = 0, её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определён и её дифференциал.