,

взятый по некоторой плоской кривой , соединяющей точки и .

Будем предполагать, что функции и имеют непрерывные частные производные в рассматриваемой области . Выясним, при каких условиях написанный криволинейный интеграл не зависит от формы кривой , а зависит только от положения начальной и конечной точек и .

Рассмотрим две произвольные кривые и , лежащие в рассматриваемой области и соединяющие точки и . Пусть

, (1)

.

Тогда на основании свойств 1 и 2 криволинейных интегралов имеем:

,

т. е. криволинейный интеграл по замкнутому контуру

(2)

В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкнутому контуру , составленному из кривых и . Этот контур можно, очевидно, считать произвольным.

Таким образом, из условия, что для любых двух точек и криволинейный интеграл не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Справедливо и обратное заключение: если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяющей две любые точки, а зависит только от положения этих точек. Действительно, из равенства (2) следует равенство (1).

Естественно возникает вопрос: каким условиям должны удовлетворять функции и для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема. Пусть во всех точках некоторой области функции и вместе со своими частными производными , непрерывны. Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру , лежащему в этой области, был равен нулю, т. е. чтобы , необходимо и достаточно выполнение равенства

(3)

во всех точках области .

Доказательство. Рассмотрим произвольный замкнутый контур в области D и запишем для него формулу Грина:

.

Если выполняется условие (3), то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно,

Докажем теперь необходимость этого условия, т.е. докажем, что если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой в области , то в каждой точке этой области выполняется и условие (3).

,

хотя бы в одной точке. Пусть, например, в некоторой точке

.

Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа во всех точках некоторой достаточно малой области , содержащей точку . Возьмем двойной интеграл по этой области от разности . Он будет иметь положительное значение. Действительно,

.

Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна криволинейному интегралу по границе области , который, по предположению, равен нулю. Следовательно, последнее неравенство противоречит условию (2), и значит, предположение, что отлично от нуля хотя бы в одной точке, неверно. Отсюда вытекает, что во всех точках данной области , а следовательно