Ком плексным числом z называется упорядоченная пара (x,y) вещественных чисел x и y (или вектор (x,y)).

Следовательно, множество действительных чисел вкладывается в множество комплексных чисел и можно отождествить комплексное число вида (x,0) и действительное число x: (x,0)x.

Теперь любое комплексное число можно записать в виде

При этом x называют действительной частью z и обозначают Rez, а y – мнимой частью z и обозначают Imz.

Такую форму записи называют алгебраической формой записи комплексного числа . Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме могут быть записаны следующим образом:

(Как видно из последнего равенства, комплексные числа перемножаются как двучлены.)

(Отметим, что перемножать, делить и возводить в степень часто удобнее, когда комплексное число задается в тригонометрической или показательной форме, см. далее по тексту.)

Комплексные числа – называют сопряженными.

Геометрически каждое комплексное число z=x+iy изображается точкой М(х,у) на координатной плоскости хОу, и тогда плоскость хОу называют плоскостью комплексных чисел, которую будем обозначать через C или C_z.

Полярные координаты r и j точки M называют модулем и аргументом комплексного числа z и обозначают r=|z|, j =Аrgz.

Функция Аrgz – многозначная, так как каждой точке z соответствует бесконечное множество значений аргумента, отличающихся друг от друга на 2 p k (k – целое число). То из значений Аrgz, которое удовлетворяет неравенству - p < j p , называют главным значением аргумента и обозначают аrg z. Тогда можно записать, что Аrg z= arg z +2 p k, k – целое .

(Очевидно, что последние равенства верны и для аrg z.)

Два комплексных числа z ₁ и z ₂ равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную 2 p . Заметим, что иногда в качестве главного значения аргумента принимают угол от 0 до 2 p .

Выписав соотношения, связывающие полярные и декартовы координаты точки x=rcos j , y=rsin j , приходим к тригонометрической форме записи комплексного числа:

Для чисел, заданных в тригонометрической форме, имеем , k – целое число.

(здесь n может быть как целым положительным, так и целым отрицательным числом).

Если n – целое положительное число, то извлечение корня n-й степени из комплексного числа z=r(cos j +isin j ) осуществляется по формулам:

(это соотношение называют формулой Эйлера), то приходим к показательной форме записи комплексного числа

Как легко проверить, для e ij выполняются правила операций со степенями, и тогда формулы умножения, возведения в натуральную степень и извлечения корня приобретают вид:

, n – целое положительное число, k=0,1. n–1.