Пример 1. (Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, Л.А.Беклемешева, А.Ю.Петрович, И.А.Чубаров., задача №2.1)

Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу

Замечание: угол между векторами острый – скалярное произведение положительно.

Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу

Замечание: угол между векторами тупой – скалярное произведение отрицательно.

Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу

Замечание: угол между векторами прямой (вектора перпендикулярны) – скалярное произведение равно нулю. Этот факт применяют в случае, если требуется определить, являются ли вектора взаимоперпендикулярными.

Известны длины векторов и то, что они сонаправлены, т.е. они параллельны или лежат на одной прямой и направлены в одну сторону.

Угол между ними равен нулю. Используем ту же формулу

5) , a и b противоположно направлены.

Известны длины векторов и то, что они противоположно направлены, т.е. они параллельны или лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.

Здесь векторы a и b заданы как суммы базисных векторов (в ортонормированном базисе), т.е. они имеют координаты и .

Известны их координаты, поэтому для вычисления скалярного произведения применим формулу

(стрелочки над векторами ставить не будем, как и в большинстве задачников, но, вообще говоря, они должны быть).

Вычислить скалярное произведение , если известно, что и .

Замечание: здесь использовано альтернативное обозначение операции скалярного умножения векторов: .

Первый вектор в скалярном произведении: . Найдем его координаты, используя элементы векторной алгебры.

Аналогично со вторым вектором: . Найдем его координаты, используя элементы векторной алгебры.

Вычислить скалярное произведение , если известно, что .

Здесь неизвестны координаты векторов a и b, поэтому найти координаты векторов и затруднительно.

Найти угол между векторами и