1. Степенная функция w = z n , n - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n =1 w = x + iy, u = x, v = y, u’ x = 1 = v’ y , u’ y = 0 = -v’ x , w’ = u’ x + iv’ x = 1 (или, непосредственно, ). Далее, w = z n = z ·z ·z ·. · z дифференцируема как произведение дифференцируемых функций. Её производная w’ = n z n −1 отлична от нуля при z ≠ 0, следовательно, отображение w = z n при n > 1 конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке z = 0 увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при n > 1 на всей плоскости С; для его однолистности в некоторой области D ∈ C необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора .
2. Показательная функция w = e z . Определим эту функцию предельным соотношением . Докажем, что этот предел существует при ∀ z = x + iy ∈ C: , модуль этого числа обозначим Mn: , аргумент - Φn: (при достаточно больших n дробь 1 + z /n лежит в правой полуплоскости). , следовательно, существует .
1. Функция w = e z аналитична на всей плоскости С, и (e z )’ = e z (доказано в разделе 19.3.3. Примеры вычисления производных ).
Из этого свойства следует, что для однолистности отображения w = e z необходимо, чтобы область D не содержала пары точек, связанных соотношением z2 − z1 = 2 nπ i, такой областью является, например, полоса <0 < Im z < 2π> , преобразуемая в плоскость С с выброшенной положительной полуосью.
3. Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями , . Все свойства этих функций следуют из этого определения и свойств показательной функции. Эти функции периодичны с периодом 2π, первая из них четна, вторая - нечетна, для них сохраняются обычные формулы дифференцирования, например, , сохраняются обычные тригонометрические соотношения ( sin 2 z + cos 2 z = 1 - проверяется непосредственно, , формулы сложения и т.д.)
4. Гиперболические функции. Эти функции определяются соотношениями , . Из определений следует связь тригонометрических и гиперболических функций:
5. Функция . Это n -значная функция (раздел 19.1.3 ), все значений которой даются формулами , k = 0, 1, 2, …, n-1. Функция определяется равенством .
8. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции определяются так же, как и в действительном случае ( w = Ar sh z, если sh z = w , например), и выражаются через Ln z . Найдём, например, Arc cos(2i) . По определению, это такое число w , что cos w = 2i , или . Так как , получаем две серии значений: ,
Поверхности начертательная геометрия